Question

(本小題滿分13分)

已知定義在R上的函數(a，b，c，d為實常數)的圖象關于原點對稱，且當x＝1時f(x)取得極值.

（Ⅰ）求函數f(x)的解析式；

（Ⅱ）證明：對任意∈[－1，1]，不等式成立；

（Ⅲ）若函數在區間(1，∞)內無零點，求實數m的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）見解析（3）(－∞，1]

解析:

（Ⅰ）因為f(x)的圖象關于原點對稱，則f(x)為奇函數，所以f(0)＝0，即d＝0.（1分）

又，即，則b＝0.

所以，.                          （2分）

因為當x＝1時f(x)取得極值，則，且.

即，故.       （4分）

（Ⅱ）因為，則當－1≤x≤1時，.

所以f(x)在[－1，1]上是減函數.                                      （5分）

所以當x∈[－1，1]時，，.       （7分）

故當∈[－1，1]時，.             （8分）

（Ⅲ）因為，則，.    （9分）

由，得，即，即.

所以在區間上是增函數，在上是減函數，從而在處取極小值.                                                      （11分）

又，若函數在區間(1，∞)內無零點，則，

所以，即m≤1.

故實數m的取值范圍是(－∞，1].