Question

已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=2，AD=4，E為側(cè)面AB₁的中心，F(xiàn)為A₁D₁的中點(diǎn)．試計(jì)算：
（1）

BC

•

ED1

；
（2）

EF

•

FC1

．

Answer 1

分析：將正方體的從頂點(diǎn)A出發(fā)的三條棱對(duì)應(yīng)的向量設(shè)為基底
（1）將

BC

，

ED1

用基底表示，將它們的數(shù)量積用基底的數(shù)量積表示利用數(shù)量積的運(yùn)算律求出值．
（2）將

EF

， 

FC1

用基底表示，將它們的數(shù)量積用基底的數(shù)量積表示利用數(shù)量積的運(yùn)算律求出值

解答：解：如圖，設(shè)

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，
則|

a

|=|

c

|=2，|

b

|=4，

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

a

=0
（1）

BC

•

ED

1
=

b

•[

1

2

(

c

-

a

)+

b

]
=|

b

|2=4²=16；

（2）

EF

•

FC1

=[

1

2

（

c

-

a

）+

1

2

b

]•（

1

2

b+

a

）
=

1

2

（-

a

+

b

+

c

）•（

1

2

b

+

a

）
=-

1

2

|

a

|²+

1

4

|

b

|²
=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用向量的運(yùn)算法則將未知的向量用已知向量表示從而將未知向量的數(shù)量積用已知向量的數(shù)量積表示．