Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B的中點．
（1）求證：AE⊥A₁C；
（2）求證：B₁C₁∥平面AC；
（3）求三棱錐A-A1BC的體積．

Answer 1

分析：（1）根據正方體的幾何特征，我們易得到BC⊥AE，AE⊥A₁B，由線面垂直的判定定理，可得AE⊥平面A₁BC，再根據線面垂直的性質，即可得到AE⊥A₁C；
（2）根據正方體的幾何特征，我們易得到B₁C₁∥BC，結合線面平行的判定定理，即可得到B₁C₁∥平面AC；
（3）三棱錐A-A₁BC的體積，可轉化為求三棱錐A₁-ABC的體積，根據正方體的幾何特征，我們求出棱錐的高和底面面積，即可得到答案．

解答：解：（1）證明：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵

BC⊥ABB1A1 AE?ABB1A1

∴BC⊥AE…（2分）
正方形ABA₁B₁中，E是A₁B的中點，
∴AE⊥A₁B  …（3分）
又∵BC∩A₁B=B，BC?平面A₁BC，A₁B?平面A₁BC，
∴AE⊥平面A₁BC，…（4分）
又∵A₁C?平面A₁BC，
∴AE⊥A₁C；…（5分）
（2）證明：正方體體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵B₁C₁∥BC，BC?平面AC，B₁C₁?平面AC
∴B₁C₁∥平面AC；
（3）VA-A1BC=VA1-A BC=

1

3

•S△ABC•AA1=

1

3

×

1

2

×1×1=

1

6

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，棱錐的體積，熟練掌握正方體的幾何特征，準確分析出正方體中直線與直線、直線與平面的垂直和平行關系，是解答本題的關鍵．