Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M和N分別為A₁B₁ 和BB₁的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值是（　　）

• A．

  2

  5

• B．

  3

  5

• C．

  10

  10

• D．-

  2

  5

Answer 1

分析：建立以D為坐標原點以DA，DC，DD₁ 分別為x，y，z軸的空間直角坐標系，利用空間向量坐標求向量

AM

，

CN

 的夾角，從而可求直線AM與CN所成角的余弦值．

解答：解：
以D為坐標原點以DA，DC，DD₁ 分別為x，y，z軸的空間直角坐標系，
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A₁（1，0，1），
B₁（1，1，1）．
因為M和N分別為A₁B₁ 和BB₁ 的中點，
所以M（1，

1

2

，1），N（1，1，

1

2

），
所以

AM

=(0，

1

2

，1)，

CN

=(1，0，

1

2

)，
所以

cos?＜

AM

，

CN

＞=

AM ? CN

| AM |?| CN |

=

1 2

( 1 2 )2+1 ? ( 1 2 )2+1

=

1 2

( 5 2 )2

=

2

5

，所以直線AM與CN所成角的余弦值

2

5

．
故選A．

點評：本題主要考查空間異面直線所成角的大小，建立空間坐標系，利用向量法求異面直線所成的角，是一種比較簡潔的方法．