Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若在定義域內是增函數，且存在不相等的正實數，使得，證明：.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上遞增，在上遞減；

當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；

當時，在上遞增；

當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；

（2）證明見解析

【解析】

（1）對求導，分，，進行討論，可得的單調性；

（2）在定義域內是是增函數，由（1）可知，，設，可得，則，設，對求導，利用其單調性可證明.

解：的定義域為，

因為，

所以，

當時，令，得，令，得；

當時，則，令，得，或，

令，得；

當時，，

當時，則，令，得；

綜上所述，當時，在上遞增，在上遞減；

當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；

當時，在上遞增；

當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；

（2）在定義域內是是增函數，由（1）可知，

此時，設，

又因為，則，

設，則

對于任意成立，

所以在上是增函數，

所以對于，有，

即，有，

因為，所以，

即，又在遞增，

所以，即.