Question

在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+n，記b_n=a_n+n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）證明：數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）記cn=

2n+2

2bn+3

，數列{c_n}的前n項和為S_n，求證：Sn＜

n+1

3

．

Answer 1

分析：（I）要證明數列{b_n}是等比數列，只要證明

bn

bn-1

=q≠0即可．利用已知遞推關系可轉化為證a_n+1+n+2=2（a_n+n+1）即得；
（II）由（I）知，b_n=3•2^n-1．于是cn=

2n+2

2bn+3

=

2n+1+1

3(2n+1)

=

1

3

+

1

3(2n+1)

從而得出c_n＜

1

3

+

1

3×2n

．利用此式對和式S_n=c₁+c₂+…+c_n進行放縮后求和即得．

解答：證明：（Ⅰ）由題設a_n+1=2a_n+n，得a_n+1+n+2=2（a_n+n+1），
即b_n+1=2b_n．                         …4分
又b₁=a₁+1+1=3，所以數列{b_n}是其首項為3，且公比為2等比數列．…6分
（Ⅱ）由（I）知，b_n=3•2^n-1．
于是cn=

2n+2

2bn+3

=

2n+1+1

3(2n+1)

=

1

3

+

1

3(2n+1)

．        …8分
所以c_n＜

1

3

+

1

3×2n

．            …11分
所以S_n=c₁+c₂+…+c_n＜

n

3

+

1

3

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)=

n

3

+

1

3

(1-

1

2n

)＜

n+1

3

．…14分．

點評：本題主要考查了等比數列的前n項和、利用定義證明數列為等比數列，考查了數列的遞推公式的應用．