Question

【題目】已知橢圓的長軸長為， 為坐標原點.

（1）求橢圓的方程和離心率.

（2）設點，動點在軸上，動點在橢圓上，且點在軸的右側.若，求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）, ;（2）．

【解析】（1）由已知，將橢圓方程轉化為標準形式，確定其長軸、短軸，并求出參數的值，從而求出橢圓方程及其離心率；（2）根據題意結合草圖，易知，通過動點的坐標求出點的坐標，將四邊形分割成三角形和三角形進行運算即可.

試題解析：（1）由題意知橢圓 ，

所以， ，

故，

解得，

所以橢圓的方程為.

因為，

所以離心率.

（2）設線段的中點為.

因為，所以.

由題意知直線的斜率存在，

設點的坐標為，

則點的坐標為，直線的斜率，

所以直線的斜率，

故直線的方程為.

令，得，故.

由，得，化簡得.

因此，

．

當且僅當時，即時等號成立．

故四邊形面積的最小值為．