Question

【題目】如圖，已知直線與拋物線（）交于、兩點，為坐標原點，.

（1）求直線的方程和拋物線的方程；

（2）若拋物線上一動點從到運動時（不與、重合），求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）.

【解析】

1）設，，將直線方程代入拋物線的方程，運用韋達定理，由向量的坐標運算和點滿足拋物線的方程，解方程可得，，即可得到所求直線和拋物線的方程；
（2）由直線和拋物線方程聯立，運用韋達定理和弦長公式，可得，設　運用點到直線的距離公式，配方，由二次函數的最值求法，可得距離的最大值，進而得到面積的最大值.

（1）設，，

由得，由題意，，，

，即有，

則，所以，

由，得，

即，故，.

所以，直線的方程為，拋物線的方程為；

（2）由得，，，

所以

，

設，（），

因為為定值，所以當點到直線的距離最大時，的面積取最大值.

，

因為，所以當時，.

所以，當點坐標為時，的面積取最大值，

且.