Question

在平面直角坐標系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點．

   （1）求證：“如果直線過點T（3，0），那么＝3”是真命題；

   （2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

Answer 1

證明：（1）設過點T(3,0)的直線l交拋物線y²=2x于點A(x₁,y₁)、B(x₁₂,y₂).

①當直線l的斜率下存在時,L：x=3,

此時L與拋物線相交于點A(3,)、B(3,－).∴=3

②當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=k(x－3),其中k≠0.

得

又∵x₁=y, x₂=y,  ∴=x₁x₂+y₁y₂==3.

綜上所述, 命題“如果直線l過點T(3,0),那么=3”是真命題.

或者設直線為x=my+3那么就不必討論斜率是否存在

   (2)逆命題是：設直線l交拋物線y²=2x于A、B兩點,如果=3,那么該直線過點T(3,0).

例如：取拋物線上的點A(2,2),B(,1),此時=3,

直線AB的方程為y=(x+1),而T(3,0)不在直線AB上.

該命題是假命題.

說明：由拋物線y²=2x上的點A(x₁,y₁)、B(x₁₂,y₂)滿足=3,可得y₁y₂=－6.

或y₁y₂=2,如果y₁y₂=－6.,可證得直線AB過點(3,0)；如果y₁y₂=2, 可證得直線AB過點(－1,0),而不過點(3,0).