Question

已知向量

a

=(

3

sinωx，cosωx)，

b

=(cosωx，-cosωx)，(ω＞0)，函數f(x)=

a

•

b

+

1

2

的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

4

，
（1）求ω；
（2）若x∈(0，

5

12

π)時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（3）若cosx≥

1

2

，x∈(0，π)，且f（x）=m有且僅有一個實根，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

=(

3

sinωx，cosωx)，

b

=(cosωx，-cosωx)，(ω＞0)，函數f(x)=

a

•

b

+

1

2

，我們易求出函數的解析式，由函數f(x)=

a

•

b

+

1

2

的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

4

，我們易得函數的最小正周期為

π

2

，由公式求出ω
（2）由正弦函數的單調性，令2kπ-

π

2

≤4x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解出x的取值范圍與所給的區間求交既得．
（3）由cosx≥

1

2

，x∈(0，π)，解出x的取值范圍，作出符合條件的f（x）的圖象，變f（x）=m有且僅有一個實根的問題為兩個函數的圖象有一個交點的問題，由圖即可得到參數的取值范圍．

解答：解：由題意，f(x)=

3

sinωx•cosωx-cos2ωx+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx

=sin(2ωx- π 6 )

．
（1）∵兩相鄰對稱軸間的距離為

π

4

∴T=

2π

2ω

=

π

2

，∴ω=2
（2）由（1）知f(x)=sin(4x-

π

6

)，令2kπ-

π

2

≤4x-

π

6

≤2kπ+ 

π

2

，k∈z，解得

kπ

2

-

π

12

≤ x≤

kπ

2

+

π

6

，k∈z又x∈(0，

5

12

π)，故函數的單調遞增區間是（0，

π

6

)
（3）∵cosx≥

1

2

，又因為余弦函數在（0，π）上是減函數，∴x∈(0，

π

3

]
令f(x)=

a

•

b

+

1

2

=sin(4x-

π

6

)，g（x）=m，在同一直角坐標系中
作出兩個函數的圖象，可知：m=1或m=-

1

2

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，求解的重點是從圖象觀察出函數的周期、最值、及點的坐標等幾何特征來，然后根據相關的公式求出解析式中的參數，本題中考查了轉化思想的運算，如第三小問中將方程有一個根的問題轉化為兩個函數的圖象有一個交點的問題，從而可以用圖象法解決問題，恰當的轉化可以迅速達成問題的求解．本題運算量較大，求解時要嚴謹，避免馬虎導致運算出錯．