Question

【題目】

設平面上向量＝(cosα，sinα) (0°≤α＜360°)，＝(－，)．

(1)試證：向量與垂直；

(2)當兩個向量與的模相等時，求角α.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)α＝30°，或α＝210°.

【解析】

本試題主要是考查了向量的數量積的運算，以及向量的數量積的性質的運用，以及三角函數的變形運用，和三角方程的求解的綜合試題．

（1）根據已知要證明向量與垂直，則利用數量積為零即可．

（2）由||＝1，||＝1，且|＋|＝|－|，利用模相等，則平方后相等來解得關于角α的方程，然后解三角方程得到角的值．

解：　(1)(＋)·(－)＝(cosα－，sinα＋)·(cosα＋，sinα－)

＝(cosα－)(cosα＋)＋(sinα＋)(sinα－)

＝cos2α－＋sin2α－＝0，

∴⊥． ……4分

(2)由||＝1，||＝1，且|＋|＝|－|，平方得(＋)2＝(－)2，

整理得22－22＋4＝0①.

∵||＝1，||＝1，∴①式化簡得·＝0，

·＝(cosα，sinα)·(－，)＝－cosα＋sinα＝0，即cos(60°＋α)＝0.

∵0°≤α＜360°，∴可得α＝30°，或α＝210°