Question

某養殖廠需定期購買飼料，每公斤飼料的價格為1．8元，一次購買飼料所需的運費是300元．已知該廠的飼料日平均保管費用為每公斤每天0．03元，且每天清晨需從倉庫搬出飼料200公斤喂食家禽，規定購買飼料的當天不計新進貨物的保管費用．例如：若每三天進貨一次，則每次進貨量是600公斤，該批飼料的保管費用共為200×0．03＋400×0．03＝18（元）．

（Ⅰ）求該廠多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最小；

（Ⅱ）若提供飼料的公司規定，當一次購買飼料不少5噸時其價格可享受八五折優惠（即原價的85%）．問該廠是否考慮利用此優惠條件，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）每隔10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最小;

（Ⅱ）該廠應接受此優惠條件．

解析:

（Ⅰ）設該廠隔天購買一次飼料，平均每天支付的總費用為…1分

∵飼料的保管與其它費用每天比前一天少200×0．03=6（元），

∴天里飼料的保管費用共是，        　　　

從而有，         

當且僅當，即時，有最小值．　　　　

即每隔10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最小．

（Ⅱ）若廠家利用此優惠條件，則至少25天購買一次飼料，設該廠利用此優惠條件，每隔天()購買一次飼料，平均每天支付的總費用為，則

，                   　　　　　　

∵，

∴當時，，即函數在上是增函數，　

∴當時，取得最小值為，而，     　　

∴該廠應接受此優惠條件．