Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點的最小距離為，離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線交于、兩點，點，問是否存在，使?若存在求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）

解析試題分析：（1）由橢圓上的點到焦點的最小距離為，即.又離心率.解出的值.即可求出.從而得到橢圓的方程.
（2）直線交于、兩點，點，若存在，使.由直線與橢圓的方程聯立以及韋達定理可得到關于的等式.再由向量的垂直同樣可得到關于點的坐標的關系式.即可得到結論.
（1）設橢圓E的方程為 ，
由已知得    ，，從而     （2分）
 橢圓E的方程為                             （4分）
（2）由  
設 、， 則 ，，
                 （6分）
由題意 ，     （8分）
要，就要， 又 ，
 ，
，      （10分）
 或，又，，
故存在 使得．                       （12分）
考點：1.待定系數法求橢圓的方程.2.向量的知識.3.解方程的思想.4.運算能力.5.分析解決數學問題的能力.