Question

（本小題滿分14分）
在數和之間插入個實數,使得這個數構成遞增的等比數列,將這個數的乘積記為,令,N.
(1)求數列的前項和；
(2)求.

Answer 1

(1)
(2)

（本小題主要考查等比數列的通項公式、數列的前項和等基礎知識，考查合情推理、化歸與轉化、特殊與一般的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力）
(1)解法1:設構成等比數列,其中,
依題意,,    ①                …………… 1分
,    ②                …………… 2分
由于,    …………… 3分
①②得.…………… 4分
∵,
∴.              ………… 5分
∵,        ………… 6分
∴數列是首項為,公比為的等比數列.        …………… 7分
∴.        …………… 8分
解法2: 設構成等比數列,其中,公比為,
則,即.               ………… 1分
依題意,得
          ………… 2分
            ……… 3分
                         …… 4分
.                          ……… 5分
∵,                   ………… 6分
∴數列是首項為,公比為的等比數列.         …………… 7分
∴. …………… 8分
(2)解: 由(1)得,              …………… 9分
∵,     ……………10分
∴,N.   ……………11分
∴

.                          …………… 14分