Question

19、已知函數f（x）=ax³+bx（x∈R），
（1）若函數f（x）的圖象在點x=3處的切線與直線24x-y+1=0平行，函數f（x）在x=1處取得極值，求函數f（x）的解析式，并確定函數的單調遞減區間；
（2）若a=1，且函數f（x）在[-1，1]上是減函數，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，根據 f'（1）=0，f'（3）=24確定函數的解析式，然后令f'（x）＜0求單調遞減區間．
（2）將a=1代入函數f（x）后對函數進行求導，根據f′（x）=3x²+b≤0在[-1，1]上恒成立轉化為b≤-3x²在[-1，1]上恒成立求出b的值．

解答：解：（1）已知函數f（x）=ax³+bx（x∈R），∴f′（x）=3ax²+b
又函數f（x）圖象在點x=3處的切線與直線24x-y+1=0平行，
且函數f（x）在x=1處取得極值，∴f′（3）=27a+b=24，
且f′（1）=3a+b=0，解得a=1，b=-3
∴f（x）=x³-3x
令f′（x）=3x²-3≤0得：-1≤x≤1，所以函數的單調遞減區間為[-1，1]
（2）當a=1時，f（x）=x³+bx（x∈R），又函數f（x）在[-1，1]上是減函數
∴f′（x）=3x²+b≤0在[-1，1]上恒成立
即b≤-3x²在[-1，1]上恒成立∴b≤-3
當b=-3時，f′（x）不恒為0，∴b≤-3

點評：本題主要考查函數的增減性與其導函數的正負的關系．屬基礎題．