Question

【題目】已知橢圓的左、右頂點分別為，左焦點為，點為橢圓上任一點，若直線與的斜率之積為，且橢圓經過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若交直線于兩點，過左焦點作以為直徑的圓的切線.問切線長是否為定值，若是，請求出定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 過左焦點作以為直徑的圓的切線長為定值.過程見解析.

【解析】

（1）設點坐標,根據兩點間斜率公式化簡直線與的斜率之積得，再根據橢圓經過點得，解方程組可得（2）設為圓的一條切線，切點為，由切割線定理得，根據直線方程與橢圓方程聯立方程組解得M,N坐標，代入化簡可得.

（1）設點坐標為，由題意知，且

則

即①

又因為橢圓經過點.

故②

由①②可知，

故橢圓的標準方程為.

（2）可知設

由，得

所以直線的方程為，令，則，故

直線方程為，令，則，故

如圖，因為，

故以為直徑的圓在軸同側.

設為圓的一條切線，切點為，連結

可知∽

故，則

故

故過左焦點作以為直徑的圓的切線長為定值.