Question

例1某家電生產企業根據市場調查分析，決定調整產品生產方案，準備每周（按120個工時算）生產空調器、彩電、冰箱共360臺，且冰箱至少生產60臺，已知生產家電產品每臺所需工時和每臺產值如下表：

家電名稱	空調機	彩電	冰箱
工時	1 2	1 3	1 4
產值/千元	4	3	2

問：每周應用生產空調器、彩電、冰箱各多少臺，才使產值最高？最高產值多少？（以千元為單位）

Answer 1

分析：本題屬于“表格”給出函數關系的數學問題，如果設每周生產空調器、彩電、冰箱分別為x，y，z臺，則x+y+z=360，

1

2

x+

1

3

y+

1

4

z=120，總產值為4x+3y+2z．本題可以從三個式子入手，通過消元將S=4x+3y+2z變成關于z的函數求其在[60，360]上的最大值．

解答：解：設每周生產空調器、彩電、冰箱分別為x，y，z臺，
則x+y+z=360，

1

2

x+

1

3

y+

1

4

z=120，總產值為4x+3y+2z．
令s=4x+3y+2z
由x+y+z=360與

1

2

x+

1

3

y+

1

4

z=120得y=360-

3

2

z，x=

1

2

z
故s=4x+3y+2z=4×

1

2

z+3×（360-

3

2

z）+2z=1080-

1

2

z
又z∈[60.360]
s在[60.360]上是減函數，當z=60時，取到最大值．此時x=30，y=270
故s的最大值是1080-

1

2

×60=1050
綜上知每周生產30臺空調、270臺彩電、60臺冰箱產值最高，最高為1050

點評：本題把總產值表示成變量z的函數后，用單調性求出最值．