Question

如果函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且滿足f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求f（1）的值．
（2）已知f（3）=1且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．
（3）證明：f（

x

y

）=f（x）-f（y）．

Answer 1

分析：（1）對題中的等式取x=y=1，化簡即可得到f（1）=0；
（2）算出2=1+1=f（3）+f（3）=f（3×3）=f（9），從而將原不等式化簡為f（a）＞f[9（a-1）]，再利用函數的單調性與定義域，建立關于a的不等式組，解之即可得到實數a的取值范圍；
（3）配方：x=

x

y

•y，利用題中的等式化簡整理，即可得到f（

x

y

）=f（x）-f（y）成立．

解答：解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）
∴令x=y=1，得f（1×1）=f（1）+f（1），可得f（1）=0；
（2）∵f（3）=1，
∴2=1+1=f（3）+f（3）=f（3×3）=f（9），
不等式f（a）＞f（a-1）+2，可化為f（a）＞f（a-1）+f（9）=f[9（a-1）]
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，
∴

a＞0 a-1＞0 a＜9(a-1)

，解之得1＜a＜

9

8

；
（3）∵x=

x

y

•y，∴f（x）=f（

x

y

•y）=f（

x

y

）+f（y），
由此可得f（

x

y

）=f（x）-f（y）．

點評：本題給出抽象函數滿足的條件，求特殊的函數值并解關于a的不等式，著重考查了函數的單調性、抽象函數的理解和不等式的解法等知識，屬于中檔題．