Question

(08年紹興一中三模理)  （15分） 定義：  ()

    ⑴設函數，求函數的最小值；

    ⑵解關于的不等式：

    ⑶設，正項數列滿足：，；求數列的通項公式，并求所有可能乘積（）的和。

Answer 1

解析：本小題主要考查函數、數列、不等式等基礎知識，考查應用數學知識分析問題和解決問題的能力，考查分類討論等數學思想方法．

解法一：(Ⅰ)f(n)= , ．．．．．．．．．．．．．．．2分

因為2n²-(n+1)²=(n-1)²-2，

當n≥3時，(n-1)²-2>0，所以當n≥3時f(n+1)>f(n)；

當，n<3時，(n-1)²-2<O，所以當n<3時f(n+1)<f(n)．

所以當n=3時f(n)取到最小值為f(3)=．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

 (Ⅱ)原不等式等價于不等式組即5分

(i)當a>1時，2<a+1<2a，原不等式的解集是{x|a+1<x≤2a}．…………6分

(ii)當a=l時，2a=a+1=2，原不等式的解集是空集．…………………7分

(iii)當a<1時，2a<a+1<2，原不等式的解集為{x|a+1<x≤2}．…………8分

綜上，a>1時，原不等式的解集是(a+1，2a]；a=1時，原不等式的解集是；

a<l時，原不等式的解集是(a+1，2]．………………………………………9分

(Ⅲ)因為g(x)=2^x,所以g(a_n+1)= ,又g(a_n+1)= = ,

            所以a_n+1=3a_n.又a₁=3, 所以數列{a_n}是首項a₁=3，公比為3的等比數列，

所以a_n=3?3 ^n-1=3 ⁿ. ………………………………………………………10分

            記數列{3 ⁿ}的所有可能的乘積(1≤i≤j≤n)的和為S，則

S=a₁?a₁+(a₁+a₂) ?a₂+…+(a₁+a₂+…+a_n) ?a_n………………………………11分

= 3?3¹+(3+3²) ?3²+…+(3+3²+…+3ⁿ) ?3ⁿ…………………………………12分

=

= +

=

= ……………………………………………15分

解法二：(Ⅰ)由f(n)= ，計算得：

據此猜想n=3時,f(n)取到最小值．………………………………………2分

以下用數學歸納法證明n≥5時,n²<2 ⁿ成立．

(i)當n=5時，5²<2 ⁵，不等式成立．

(ii)假設n=k(k≥5)時不等式成立，即k²>2 ^k

那么2^k+1=2 ^k ?2>k² ?2 ,

因為k≥5,所以2k²-(k+1)²=k²-2k-1=(k-1)²-2>0.

所以2^k+1>(k+1)².即當n=k+1時，不等式也成立．

根據(i)和(ii)所述，對于所有n≥5，n∈N ^*，n²<2 ⁿ都成立．

結合上表可知猜想正確，即當n=3時f(n)取到最小值為f(3)=.………4分

(Ⅱ)同解法一．

(Ⅲ)同解法一，得a_n=3ⁿ.………………………………………………………10分

           由a_i?a_j=3ⁱ?3^j=3^i+j  (1≤i≤j≤n)，列表如下：

記數列{3ⁿ}的所有可能的乘積(1≤i≤j≤n)的和為S，將這個“上三角形”表繞“對角線”對稱地填在“下三角形”中，得到正方形數表：

記第一行的和為S₁，那么2S一(3²+3⁴+3⁶+…+3²ⁿ)=S₁(1+3+3²+…+3^n-1).

所以2S =(3 ⁿ-1)(1+3+3²+…+3 ^n-1)+(9 ⁿ -1),

所以S =

解法三：(Ⅰ)因為f(n)= ,設

由，

所以當時，<0，所以，在內單調遞減；

當時，>0，所以，在內單調遞增．……2分

所以f(n)= 的最小值只可能在n=2或n=3處取到，

注意到f(2)=1,f(3)=,所以當n=3時,f(n)取到最小值為 f(3)=.

        (Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一．

解法四：(Ⅰ)同解法二，猜想n=3時, f(n)取到最小值．………………………………2分

            證明如下：當n≥5時，

因為n≥5時，n-2≥3，

            所以≥=1.

結合上表可知猜想正確，即當n=3時,f(n)取到最小值為f(3)= .

(Ⅱ)(Ⅲ)同解法一．