Question

在空間四邊形SABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

3

，M、N分別為AB、SB的中點．
（1）證明：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的大小．

Answer 1

分析：（1）欲證AC⊥SB，取AC中點D，連接DS、DB．根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，只須證AC⊥SD且AC⊥DB，即得；
（2）欲求二面角N-CM-B的大小，可先作出二面角的平面角，結(jié)合SD⊥平面ABC．過N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，過E作EF⊥CM于F，連接NF，則NF⊥CM．可得∠NFE為二面角N-CM-B的平面角．最后在Rt△NEF中求解即可得到答案．

解答：解：（1）取AC中點D，連接SD、DB．
∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，
∴AC⊥平面SDB，
又∵SB?平面SDB，
∴AC⊥SB．
（2）∵AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC．
過N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，
過E作EF⊥CM于F，連接NF，則NF⊥CM．
∴∠NFE為二面角N-CM-B的平面角．
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，
∴SD⊥平面ABC．
又∵NE⊥平面ABC，
∴NE∥SD．
∵SN=NB，
∴NE=

1

2

SD=

1

2

SA2-AD2

=

1

2

12-4

=

2

，且ED=EB．
在正△ABC中，由平幾知識可求得EF=

1

4

MB=

1

2

，
在Rt△NEF中，tan∠NFE=

EN

EF

=2

2

，
∴二面角N-CM-B的大小是arctan2

2

．

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，以及二面角的做法與求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力．