Question

給定實數a（a≠

1

2

），設函數f（x）=2x+（1-2a）ln（x+a）（x＞-a，x∈R），f（x）的導數f′（x）的圖象為C₁，C₁關于直線y=x對稱的圖象記為C₂．
（Ⅰ）求函數y=f′（x）的單調區間；
（Ⅱ）對于所有整數a（a≠-2），C₁與C₂是否存在縱坐標和橫坐標都是整數的公共點？若存在，請求出公共點的坐標；若不若存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數的導數，然后再求出導數函數的導數，即函數的二階導數，并由此判斷函數導數的單調區間；
（2）利用根的存在性定理進行計算．

解答：解：（Ⅰ）設g（x）=f′（x）=2+

1-2a

x+a

=

2x+1

x+a

，
則g′（x）=

2a-1

(x+a)2

，
當a≥

1

2

時，函數y=f′（x）在區間（-∞，-a]、（-a，+∞）上單調遞增，
當a＜

1

2

時，函數y=f′（x）在區間（-∞，-a]、（-a，+∞）上單調遞減，
∴函數y=f′（x）的單調區間是（-∞，-a]、（-a，+∞）．
（Ⅱ）易知C₂對應的函數為y=

1-ax

x-2

，
由

2x+1

x+a

=

1-ax

x-2

，
化簡可得（a+2）[x²+（a-2）x-1]=0，
∵a≠-2，
∴依題意知x²+（a-2）x-1=0的兩根均為整數，
由x²+（a-2）x-1=0，
有a=

1-x2

x

+2=2+

1

x

-x，
又

1

x

∈Z，
∴x=±1
∴a=2，
∴縱坐標和橫坐標都是整數的公共點是（1，1）與（-1，-1）．

點評：掌握函數求導的方法以及單調區間的判斷，熟悉根的存在性定理及其運用．