Question

（07年湖南卷文）（13分）

已知函數在區間內各有一個極值點.

（Ⅰ）求的最大值；

　（Ⅱ）當時，設函數在點處的切線為，若在點A處穿過的圖象（即動點在點A附近沿曲線運動，經過點A時，從的一側進入另一側），求函數的表達式.

Answer 1

解析：（I）因為函數在區間，內分別有一個極值點，所以在，內分別有一個實根，

設兩實根為（），則，且．于是

，，且當，即，時等號成立．故的最大值是16．

（II）解法一：由知在點處的切線的方程是

，即，

因為切線在點處穿過的圖象，

所以在兩邊附近的函數值異號，則

不是的極值點．

而，且

．

若，則和都是的極值點．

所以，即．又由，得．故．

解法二：同解法一得

．

因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號．于是存在（）．

當時，，當時，；

或當時，，當時，．

設，則

當時，，當時，；

或當時，，當時，．

由知是的一個極值點，則．

所以．又由，得，故．