Question

（07年湖南卷文）（１4分）

如圖，已知直二面角，直線CA和平面所成的角為.                  

   (Ⅰ)證明；

   (Ⅱ)求二面角的大小.

Answer 1

解析：（I）在平面內過點作于點，連結．

因為，，所以，又因為，所以．

而，所以，．從而．又，

所以平面．因為平面，故．

（II）解法一：由（I）知，，又，，，所以．

過點作于點，連結，由三垂線定理知，．

故是二面角的平面角．

由（I）知，，所以是和平面所成的角，則，

不妨設，則，．

在中，，所以，

于是在中，．

故二面角的大小為．

解法二：由（I）知，，，，故可以為原點，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖）．

因為，所以是和平面所成的角，則．

不妨設，則，．

在中，，

所以．

則相關各點的坐標分別是

，，，．

所以，．

設是平面的一個法向量，由得

取，得．

易知是平面的一個法向量．

設二面角的平面角為，由圖可知，．

所以．

故二面角的大小為．