Question

【題目】已知函數（其中是自然對數的底數）.

（1）證明：①當時，；

②當時，.

（2）是否存在最大的整數，使得函數在其定義域上是增函數？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1)①直接作差，構建新函數研究最值即可；②同樣作差構建函數，研究最值即可；

(2)由題意可得，變量分離研究最值即可.

①令，

當時，，故在區間上為減函數，

當時，，故在區間上為增函數，

因此，故.

②令，

，因此為增函數

當時，，故.

（2）據題意，函數的定義域為，又，

，

因此對一切有.

令，

則，，

故為增函數，

又，，

因此在區間上有唯一的零點，記它為，

在上單調遞減，在上單調遞增，

故，因此，其中

由（1）可知恒成立，且當時，成立

故

當且僅當時等號成立.

因此.

又

因此，即存在最大的整數28，使得在其定義域上是增函數.