Question

已知向量

OA

=(2，0)，

OC

=

AB

=(0，1)，動點M到定直線y=1的距離等于d，并且滿足

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)，其中O是坐標原點，k是參數．
（1）求動點M的軌跡方程，并判斷曲線類型；
（2）當k=

1

2

時，求|

OM

+2

AM

|的最大值和最小值；
（3）如果動點M的軌跡是圓錐曲線，其離心率e滿足

3

3

≤e≤

2

2

，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設出M的坐標并求出A（2，0），B（2，1），C（0，1），把各點的坐標以及動點M到定直線y=1的距離等于d代入

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)，整理即可求出動點M的軌跡方程為（1-k）（x²-2x）+y²=0，再分情況得出曲線類型；
（2）先利用（1）的結論得出：0≤x≤2，y²=

1

2

-

1

2

(x-1)2，再把|

OM

+2

AM

|整理為

9

2

(x-

5

3

)2+

7

2

，利用二次函數在閉區間上的最值求即可求出|

OM

+2

AM

|的最大值和最小值；
（3）先由離心率e滿足

3

3

≤e≤

2

2

，得圓錐曲線是橢圓，且方程可化為(x-1)2+

y2

1-k

=1．再利用離心率e和系數的關系分情況分別求出對應的實數k的取值范圍即可．

解答：解：（1）設M（x，y），由題設可得A（2，0），B（2，1），C（0，1）
∴

OM

=(x，y)，

AM

=(x-2，y)，

CM

=(x，y-1)，

BM

=(x-2，y-1)，d=|y-1|，
因

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)
∴（x，y）•（x-2，y）=
k[（x，y-1）•（x-2，y-1）-|y-1|²]
即（1-k）（x²-2x）+y²=0為所求軌跡方程．
當k=1時，y=0，動點M的軌跡是一條直線；
當k=0時，x²-2x+y²=0，動點M的軌跡是圓；
當k≠1時，方程可化為(x-1)2+

y2

1-k

=1，當k＞1時，動點M的軌跡是雙曲線；
當0＜k＜1或k＜0時，動點M的軌跡是橢圓．
（2）當k=

1

2

時，M的軌跡方程為(x-1)2+

y2

1 2

=1，．得：0≤x≤2，y²=

1

2

-

1

2

(x-1)2．
∵|

OM

+2

AM

|2=|(x，y)+2(x-2，y)|2=|(3x-4，3y)|2
=(3x-4)2+9y2=(3x-4)2+9[

1

2

-

1

2

(x-1)2]
=

9

2

(x-

5

3

)2+

7

2

．
∴當x=

5

3

時，|

OM

+2

AM

|2取最小值

7

2

當x=0時，|

OM

+2

AM

|2取最大值16．
因此，|

OM

+2

AM

|的最小值是

14

2

，最大值是4．
（3）由于

3

3

≤e≤

2

2

，即e＜1，此時圓錐曲線是橢圓，其方程可化為(x-1)2+

y2

1-k

=1，
①當0＜k＜1時，a²=1，b²=1-k，c²=1-（1-k）=k，e2=

c2

a2

=k，∵

3

3

≤e≤

2

2

，∴

1

3

≤k≤

1

2

；
②當k＜0時，a²=1-k，b²=1，c²=（1-k）-1=-k，e2=

c2

a2

=

-k

1-k

=

k

k-1

，∵

3

3

≤e≤

2

2

，∴

1

3

≤

k

k-1

≤

1

2

，而k＜0得，-1≤k≤-

1

2

．
綜上，k的取值范圍是[-1，-

1

2

]∪[

1

3

，

1

2

]．

點評：本題綜合考查了軌跡方程的求法以及向量與圓錐曲線的綜合問題和分類討論思想的應用，是對知識的綜合考查，屬于難題．