Question

已知關于x的二次函數f（x）=ax²-4bx+1．
（1）設集合P={-1，2，3}和Q={-2，1，2}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，求函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率；
（2）設點（a，b）是區域

x+y-6≤0 x＞0 y＞0

內的隨機點，求函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率．

Answer 1

（1）分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，有（-1，-2）、（-1，1）、（-1，2）、
（2，-2）、（2，1）、（2，2）、（3，-2）、（3，1）和（3，2）共9個基本事件．
∵二次函數f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對稱軸為x=

2b

a

，要使函數f（x）=ax²-4bx+1在區間
[1，+∞）上為增函數，當且僅當a＞0且

2b

a

≤1成立，即a＞0且2b≤a．
若a=2，則b=-2或1；若a=3，則b=-2或1．
由此可得滿足條件的基本事件包含基本事件的個數是2+2=4．
∴函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率為P=

4

9

；
（2）由（1）知當且僅當a＞0且2b≤a時，函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數．
根據題意全部結果所構成的區域為滿足不等式

x+y-6≤0 x＞0 y＞0

的實數對（a，b）構成的集合，相應的區域為如右圖的△OAB及其內部．
其中符合“函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數”的實數對（a，b），滿足不等式

a+b-6＜0 a＞0且b＞0 2b≤a

，相應的區域為如右圖的△OAC及其內部．
∵A（6，0），B（0，6），C（4，2），
∴S_△OAB=

1

2

×6×6=18，S_△OAC=

1

2

×6×2=6
∴所求事件的概率為P=

S△OAC

S△OAB

=

6

18

=

1

3

．