Question

已知數列{a_n}滿足：，且對任意a₁=1，n∈N^*，有a_n+a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n•a_n+1=0．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）證明：當n＞1時，

1

2

≤a₁+a₂+…+a_n＜1；
（3）設b_n={a₁a₂…a_n}，函數f_n（x）=1+b₁x+b₂x²+…+b_nx²ⁿ，n∈N^*，證明你對任意的n∈N^*，函數f_n（x）無零點．

Answer 1

分析：（1）通過a_n+a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n•a_n+1=0，移項后兩邊同除（-1）ⁿ⁺¹a_n•a_n+1，構造新數列，然后求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用

1

2k-1

-

1

2k

＞0，

1

2k

-

1

2k+1

＞0，構造數列

1

2k

-

1

2k+1

，通過數列求和，推出當n＞1時，

1

2

≤a₁+a₂+…+a_n＜1；
（3）通過b_n=|a₁a₂…a_n|求出b_n表達式，化簡函數f_n（x）=1+b₁x+b₂x²+…+b_nx²ⁿ，n∈N^*，利用數學歸納法證明對任意的n∈N^*，函數f_n（x）無零點．證明n=k+1時，構造函數g（x）通過圓的導數判斷函數的單調性，利用函數與方程的根說明方程沒有零點．

解答：解：（1）因為a₁=1，又因為a_n+a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n•a_n+1=0．a_n≠0，
且

1

(-1)n+1an+1

- 

1

(-1)nan

=-1
所以

1

(-1)nan

是以

1

(-1)1a1

=-1為首項．-1為公差的等差數列．

1

(-1)nan

=-1-(n-1)=-n．
所以an=

(-1)n+1

n

．
（2）因為k∈N^* 時

1

2k-1

-

1

2k

＞0，

1

2k

-

1

2k+1

＞0，
所以

1

2

≤(1-

1

2

) +(

1

3

-

1

4

)  +…+ (

1

2k-1

-

1

2k

)
＜ (1-

1

2

) +(

1

3

-

1

4

)  +…+ (

1

2k-1

-

1

2k

)+

1

2k+1

=1-(

1

2

-

1

3

)-(

1

4

-

1

5

)-…-(

1

2k

-

1

2k+1

)＜1
即

1

2

≤a₁+a₂+…+a_2k＜a₁+a₂+…+a_2k+1＜1
所以當n＞1時，

1

2

≤a₁+a₂+…+a_n＜1．
（3）因為b_n=|a₁a₂…a_n|=

1

n!

，所以f_n（x）=1+

1

1！

x+

1

2！

x²+…+

1

(2n)!

x²ⁿ，
①當n=1時，函數f₁（x）=1+x+

x2

2

=

1

2

(x+1)2+

1

2

＞0，所以函數無零點，結論成立．
②假設n=k時結論成立，即f_k（x）=1+

1

1！

x+

1

2！

x²+…+

1

(2k)!

x^2k無零點．
因為x≥0時，f_k（x）＞0．而f_k（x）的圖象是連續不斷的曲線，所以對任意x∈Rf_k（x）＞0恒成立．
當n=k+1時，因為f_k+1（x）=1+

1

1！

x+

1

2！

x²+…+

1

(2k+2)!

x^2k+2，
f′_k+1（x）=1+

1

1！

x+

1

2！

x²+…+

1

(2k+1)!

x^2k+1，
g_k（x）=1+

1

1！

x+

1

2！

x²+…+

1

(2k+1)!

x^2k+1，
∴g′_k（x）=1+

1

1！

x+

1

2！

x²+…+

1

(2k)!

x^2k=f_k（x）＞0，
即g_k（x）是增函數，
注意到x＜-（2k+1）時1+

x

t

＜0t=1，2，3，…2k+1，
所以g_k（x）=1+

1

1！

x+

1

2！

x²+…+

1

(2k+1)!

x^2k+1
=（1+x）+

x2

2!

(1+

x

3

)+

x2

4!

(1+

x

5

)+…+

x2

(2k)!

(1+

x

2k+1

)＜0
當x≥0時，g_k（x）＞0而g_k（x）是增函數，所以g_k（x）有且只有一個零點，記此零點為x₀且x₀≠0，
則當x∈（-∞，x₀）時
g_k（x）＜g_k（x₀）=0，即f′_k+1（x）＜0，當x∈（x₀，+∞）時
g_k（x）＞g_k（x₀）=0，即f′_k+1（x）＞0，f_k+1（x）在x∈（-∞，x₀）單調遞減，在x∈（x₀，+∞）單調遞增，
所以對任意的x∈R，f_k+1（x）＞f_k+1（x₀）=g_k（x₀）+

x 2k+2 0

(2k+2)!

=

x 2k+2 0

(2k+2)!

＞0，從而f_k+1（x）無零點，
即當n=k+1時，結論成立．
根據①②，可知對任意的n∈N^*，函數f_n（x）無零點．

點評：本題難度比較大，不僅考查數列的通項公式的求法，裂項法證明不等式，數學歸納法的應用，函數的零點的判斷方法，導數的應用，考查計算能力，轉化思想等思想方法．