Question

（2007•溫州一模）設(shè)函數(shù)y=f（x），我們把滿(mǎn)足方程f（x）=0的值x叫做函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)．現(xiàn)給出函數(shù)f（x）=x³-3x²+ax+a²-10，若它是R上的單調(diào)函數(shù)，且1是它的零點(diǎn)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）設(shè)Q₁（x₁，0），若過(guò)P₁（x₁，f（x₁））作函數(shù)y=f（x）的圖象的切線與x軸交于點(diǎn)Q₂（x₂，0），再過(guò)P₂（x₂，f（x₂））作函數(shù)y=f（x）的圖象的切線與x軸交于點(diǎn)Q₃（x₃，0），…，依此下去，過(guò)P_n（x_n，f（x_n））（n∈N^*）作函數(shù)y=f（x）的圖象的切線與x軸交于點(diǎn)Q_n+1（x_n+1，0），…．
若x₁=2，x_n＞1，求x_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由1是函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，得：f（1）=a²+a-12=0，由此能求出實(shí)數(shù)a的值．
（Ⅱ）由f（x）=（x-1）³，知f（x_n）=（x_n-1）³，其導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3（x-1）²，過(guò)P_n（x_n，f（x_n））（n∈N⁺）作函數(shù)y=f（x）圖象的切線方程為：y-（x_n-1）³=3（x_n-1）²（x-x_n），由此能求出x_n．

解答：解：（Ⅰ）由1是函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，得：f（1）=a²+a-12=0，
解得：a=3，或a=-4，…（2分）
若a=3，則f（x）=x³-3x²+3x-1，f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0恒成立，滿(mǎn)足條件；
若a=-4，則f（x）=x³-3x²-4x+6，
f′（x）=3x²-6x-4在R上有正，有負(fù)，
不滿(mǎn)足“是R上的增函數(shù)”條件，所以舍去．
所以，a=3．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（x-1）³，則f（x_n）=（x_n-1）³，
其導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3（x-1）²，
過(guò)P_n（x_n，f（x_n））（n∈N⁺）作函數(shù)y=f（x）圖象的切線方程
為：y-（x_n-1）³=3（x_n-1）²（x-x_n），…（8分）
令y=0得：-（x_n-1）³=3（x_n-1）²（x_n+1-x_n），
∵x_n＞1，
∴xn+1=

2

3

xn+

1

3

，xn+1-1=

2

3

(xn-1)，
∴數(shù)列{x_n-1}是以1為首項(xiàng)，

2

3

為公比的等比數(shù)列   …（12分）
x_n-1=(

2

3

)n-1，則xn=1+(

2

3

)n-1．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本昰考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．