Question

已知橢圓的右焦點為F，右準線為l，過F作直線交橢圓C于點P、Q兩點．
（I）設（O為坐標原點），求M的軌跡方程；
（II）設N是l上的任一點，求證：∠PNQ＜90°．

Answer 1

解：（1）設M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題設知．由，知M為PQ之中點，∴又P、Q在橢圓C上，則，．當x₁≠x₂時，兩式相減，得，即，又，所以，化簡得．
當x₁=x₂時，即PQ垂直于x軸時，此時M的坐標為（），也是滿足上式．故所求的軌跡方程為．
（II）過P、Q及PQ之中點R，分別作右準線l的垂線PP₁，QQ₁，RR₁，垂足為P₁，Q，R₁，由橢圓的定義，知，∴．
又，
所以以PQ為直徑的圓與l相離，所以N在以PQ為直徑的圓外，所以∠PNQ＜90°．
分析：（1）設M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題設知．由，知M為PQ之中點，知，由P、Q在橢圓C上，有，．由點差法能夠得到所求的軌跡方程．
（II）過P、Q及PQ之中點R，分別作右準線l的垂線PP₁，QQ₁，RR₁，垂足為P₁，Q，R₁，由橢圓的定義，知，故．由此能夠證明∠PNQ＜90°．
點評：本題考查M的軌跡方程的求法和證明∠PNQ＜90°．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．