Question

定義在R上的函數y=f(x)，f(0)≠0，當x>0時，f(x)>1，且對任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，
（1）求證：f(0)=1；          
（2）求證：對任意的x∈R，恒有f(x)> 0；
（3）證明：f(x)是R上的增函數；（4）若f(x)·f(2x-x²)>1，求x的取值范圍。

Answer 1

（1）略（2）略   (3) 0<x<3

本題主要考查抽象函數及其應用、函數單調性的判斷與證明．解本題的關鍵是靈活應用題目條件，尤其是（3）中“f（x2）=f[（x2-x1）+x1]”是證明單調性的關鍵，這里體現了向條件化歸的策略．
（1）利用賦值法解決，令x=y=0即得；
（2）利用條件：“當x＞0時，f（x）＞1”，只須證明當x＜0時，f（x）＞0即可；
（3）利用單調函數的定義證明，設x1＜x2，將f（x2）寫成f[（x2-x1）+x1]的形式后展開，結合（2）的結論即可證得；
（4）由f（x）•f（2x-x2）＞f（0）得f（3x-x2）＞f（0）．結合f（x）的單調性去掉符號“f”后，轉化成一元二次不等式解決即可