Question

函數(shù)f（x）=|x²-a|在區(qū)間[-1，1]上的最大值為M（a），則M（a）的最小值是

1

2

．

Answer 1

分析：由題意可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，因此討論M（a）的值域只需在x∈[0，1]這一范圍內(nèi)進(jìn)行，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性及a的正負(fù)及

a

與1的大小分類討論求解M（a）．

解答：解：由題意可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，因此討論M（a）的值域只需在x∈[0，1]這一范圍內(nèi)進(jìn)行；
①當(dāng)a≤0時，f（x）=x²-a，函數(shù)f（x）在[0，1]單調(diào)遞增，M（a）=f（1）=1-a≥1．
②當(dāng) 1＞a＞0時，函數(shù)f（x）在[0，

a

]上單調(diào)遞減，在[

a

，1]上單調(diào)遞增，
所以f（x）在[0，

a

]內(nèi)的最大值為M（a）=f（0）=a，而f（x）在[

a

，1]上的最大值為M（a）=f（1）=1-a．
由f（1）＞f（0）得1-a＞a，即0＜a＜

1

2

．
故當(dāng)a∈（0，

1

2

）時，M（a）=f（1）=1-a＞

1

2

，同理，當(dāng)a∈[

1

2

，1）時，M（a）=f（0）=a≥

1

2

．
③當(dāng)a≥1時，函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，所以M（a）=f（0）=a≥1．
綜上，M（a）=1-a，（當(dāng)a＜

1

2

時）； M（a）=a，（當(dāng)a≥

1

2

時）．
所以M（a）在[0，

1

2

]上為減函數(shù)，且在[

1

2

，1]為增函數(shù)，易得M（a）的最小值為M（

1

2

）=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其實由分析可得M（a）=f（0）或f（1），所以可直接通過比較f（0）與f（1）的大小得出M（a）的解析式從而求解．