Question

設函數f(x)=ln(x-1)+

2a

x

(a∈R)
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）如果當x＞1，且x≠2時，

ln(x-1)

x-2

＞

a

x

恒成立，則求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過對函數f（x）求導，進而轉化為判斷二次函數y=x²-2ax+2a的正負問題，再對a分類討論即可．
（2）當x＞1，且x≠2時，

ln(x-1)

x-2

＞

a

x

恒成立問題，轉化為當x＞1，且x≠2時

1

x-2

[f(x)-a]＞0恒成立問題，只要利用（1）的結論對a及x進行分類討論f（x）-a及x-2的符號即可．

解答：解：（1）由題意可知函數f（x）的定義域為（1，+∞），f′(x)=

1

x-1

-

2a

x2

=

x2-2ax+2a

x2(x-1)

，
設g（x）=x²-2ax+2a，△=4a²-8a=4a（a-2），
①當△≤0，即0≤a≤2，g（x）≥0，
∴f^′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上單調遞增．
②當a＜0時，g（x）的對稱軸為x=a，當x＞1時，由二次函數的單調性可知g（x）＞g（1）＞0，
∴f^′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調遞增．
③當a＞2時，設x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程x²-2ax+2a=0的兩個根，則x1=a-

a2-2a

＞1，x2=a+

a2-2a

，
當1＜x＜x₁或x＞x₂時，f^′（x）＞0，f（x）在（1，x₁），（x₂，+∞）上是增函數．
當x₁＜x＜x₂時，f^′（x）＜0，f（x）在（x₁，x₂）上是減函數．
綜上可知：當a≤2時，f（x）在（1，+∞）上單調遞增；
          當a＞2時，f（x）的單調增區間為（1，x₂），（x₂，+∞），單調遞減區間為（x₁，x₂）．
（2）

ln(x-1)

x-2

＞

a

x

可化為

1

x-2

[ln(x-1)+

2a

x

-a]＞0，即

1

x-2

[f(x)-a]＞0，（*）
令h（x）=f（x）-a，由（1）知：
①當a≤2時，f（x）在（1，+∞）上是增函數，所以h（x）在（1，+∞）是增函數．
因為當1＜x＜2時，h（x）＜h（2）=0，∴（*）式成立；
當x＞2時，h（x）＞h（2）=0，∴（*）成立；
所以當a≤2時，（*）成立
②當a＞2時，因為f（x）在（x₁，2）上是減函數，所以h（x）在（x₁，2）上是減函數，所以當x₁＜x＜2時，h（x）＞h（2）=0，（*）不成立．
綜上可知，a的取值范圍為（-∞，2]．

點評：本題綜合考查了函數的單調性及恒成立問題，關鍵是通過分類討論得到函數的單調區間及會轉化利用已證的結論解決問題．