Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₃=6，S₁₀=110．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}前n項和為T_n，且Tn=1-(

2

2

)an，令cn=anbn(n∈N*)．求數列{c_n}的前n項和R_n．

Answer 1

（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，
∵a₃=6，S₁₀=110．
∴a₁+2d=6，10a1+

10×9

2

d=110，
解得a₁=2，d=2，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2+（n-1）•2=2n；
（Ⅱ）∵Tn=1-(

2

2

)an=1-(

2

2

)2n=1-(

1

2

)n，
當n=1時，b₁=T₁=1-(

2

2

)2=

1

2

，
當n≥2時，bn=T_n-T_n-1=1-(

1

2

)n-[1-(

1

2

)n-1]=(

1

2

)n，
且n=1時滿足，
∴數列{a_n}的通項公式為bn=(

1

2

)n．
又a_n=2n，
∴cn=

2n

2n

=

n

2n-1

，
∴Rn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

，
即

1

2

Rn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
兩式相減得：

1

2

Rn=

1

20

+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
∴Rn=4-

n+2

2n-1

．