Question

【題目】已知數列滿足，且

（1）求數列的通項公式；

（2）求數列的前項和；

（3）若，求證

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）數列{an}滿足3（n+1）an＝nan+1（n∈N*），且a1＝3，可得，利用“累乘求積”方法即可得出．

（2）利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

（3），可得．利用“裂項求和方法”與數列的單調性即可得出．

（1）解：∵數列{an}滿足3（n+1）an＝nan+1（n∈N*），且a1＝3，∴，

∴an…3n﹣13＝n3n．

（2）解：數列{an}的前n項和Sn＝3+2×32+3×33+…+n3n，

3Sn＝32+2×33+…+（n﹣1）3n+n3n+1，

∴﹣2Sn＝3+32+…+3n﹣n3n+1n3n+1，

∴Sn3n+1．

（3），∴．

∴

1∈．

∴1．