Question

如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長是1，過A點作平面A₁BD的垂線，垂足為點H，有下列三個命題：
①點H是△A₁BD的中心；
②AH垂直于平面CB₁D₁；
③AC₁與B₁C所成的角是90°．
其中正確命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意判斷A-A₁BD是一個正三棱錐，說明H是三角形A₁BD的中心，判斷①的正誤；推出AH⊥平面CB₁D₁，判斷②的正誤；說明AC₁與B₁C垂直，判斷③的正誤．
解答：解：由于ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，所以A-A₁BD是一個正三棱錐，因此A點在平面A₁BD上的射影H是三角形A₁BD的中心，故①正確；
又因為平面CB₁D₁與平面A₁BD平行，所以AH⊥平面CB₁D₁，故②正確；
從而可得AC₁⊥平面CB₁D₁，即AC₁與B₁C垂直，所成的角等于90°，③正確．
故答案為：①②③
點評：本題是基礎題，考查正方體的有關直線與直線的位置關系，直線與平面的位置關系，考查空間想象能力．