Question

【題目】已知函數(shù)且在處的切線與直線垂直.

(1)求實(shí)數(shù)值;

(2)若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)及恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)設(shè),且數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證: .

Answer 1

【答案】（1）;（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，根據(jù)題意可得，解得;（2）先求最值，再根據(jù)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為, ,最后分別按二次不等式和絕對(duì)值不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍;（3）由(2)可得當(dāng)時(shí), ，從而,再利用裂項(xiàng)相消法得= ，即得結(jié)論

試題解析：(1,x>0,

因?yàn)?/span>,且在處的切線與直線垂直,

所以,則;

(2)由(1)可知

所以,易知當(dāng)時(shí), ,

所以在,

因此當(dāng)時(shí), .

由不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)及恒成立可得,

,即對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立,

所以解得;

且=,

即,即或,綜上可得的取值范圍是;

(3)由(2)可知在定義域上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)時(shí), ,即.

而,又,

故,

所以== 而,所以.