Question

已知函數的圖象在點處的切線斜率為．

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）判斷方程根的個數，證明你的結論；

（Ⅲ）探究：是否存在這樣的點，使得曲線在該點附近的左、右的兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側？若存在，求出點A的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）方程有且只有一個實根．

（3）存在唯一點使得曲線在點附近的左、右兩部分分別

位于曲線在該點處切線的兩側．

【解析】

試題分析：解法一：（Ⅰ）因為，所以，

函數的圖象在點處的切線斜率．

由得：．                    4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令．

因為，，所以在至少有一個根．

又因為，所以在上遞增，

所以函數在上有且只有一個零點，即方程有且只有一

個實根．                         7分

（Ⅲ）證明如下：

由，，可求得曲線在點處的切

線方程為，

即．                    8分

記

，

則．               11分

（1）當，即時，對一切成立，

所以在上遞增．

又，所以當時，當時，

即存在點，使得曲線在點A附近的左、右兩部分分別位于曲線

在該點處切線的兩側．                   12分

（2）當，即時，

時，；時，；

時，．

故在上單調遞減，在上單調遞增．

又，所以當時，；當時，，

即曲線在點附近的左、右兩部分都位于曲線在該點處切線的

同側．                                   13分

（3）當，即時，

時，；時，；時，．

故在上單調遞增，在上單調遞減．

又，所以當時，；當時，，

即曲線在點附近的左、右兩部分都位于曲線在該點處切線的同側．

綜上，存在唯一點使得曲線在點附近的左、右兩部分分別

位于曲線在該點處切線的兩側．                             14分

解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；

（Ⅲ）證明如下：

由，，可求得曲線在點處的切

線方程為，

即．                  8分

記

，

則．            11分

若存在這樣的點，使得曲線在該點附近的左、右兩部分都

位于曲線在該點處切線的兩側，則問題等價于t不是極值點，

由二次函數的性質知，當且僅當，即時，

t不是極值點，即．

所以在上遞增．

又，所以當時，；當時，，

即存在唯一點，使得曲線在點附近的左、右兩部分分別

位于曲線在該點處切線的兩側．                         14分

考點：函數、導數

點評：本題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，函數與方程思想、數形結合思想、考查化歸與轉化思想．