Question

（本題滿分14分）已知函數的圖象在點處的切線的斜率為，且在處取得極小值。

（1）求的解析式；

（2）已知函數定義域為實數集，若存在區間，使得在的值域也是，稱區間為函數的“保值區間”．

①當時，請寫出函數的一個“保值區間”（不必證明）；

②當時，問是否存在“保值區間”？若存在，寫出一個“保值區間”并給予證明；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵，                        

∴                              ……  1 分

由                       …… 4  分

∴，       令，解得，

當變化時，,的變化情況如下表：

				1
		0		0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴當時，取得極小值。                                  

所以，。                                     ……  5 分

（２） ①                                       ……  7 分

②由（１）得，

假設當x>1時，存在“保值區間”:［m,n］(n>m>1)。

因為當x>1時，所以在區間是增函數，

依題意,

于是問題轉化為有兩個大于1的根。             …… 9  分

現在考察函數

則令

又∵

∴１<                                               

當變化時，,的變化情況如下表：

	(1,)
	－	0	＋
	單調遞減	極小值	單調遞增

 所以，在在(1,) 上單調遞減, 在上單調遞增。          …… 12  分

于是，,

又因為

所以，當時，的圖象與軸只有一個交點，                ……  13 分

即方程有且只有一個大于1的根，與假設矛盾。

故當x>1時，不存在“保值區間”。                          ……  14 分

（２）解法2：由（１）得，

② 假設當x>1時，存在“保值區間”:［m,n］(n>m>1)。

因為當x>1時，所以在區間是增函數，

依題意,

于是問題轉化為方程，即有兩個大于1的根。…… 9  分

考察函數=(),與函數().

當x>1時，，

所以

而函數在區間                …… 12  分

又因為   所以，

因此函數=()的圖象與函數()的圖象只有一個交點。

……  13分

即方程有且只有一大于1的根，與假設矛盾。

故當時，不存在“保值區間”         

【解析】略