Question

如圖在等腰直角△ABC中，點O是斜邊BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若

AB

=m

AM，

AC

=n

AN

，則mn的最大值為（　　）

A． 1 2

B．1

C．2

D．3

Answer 1

以AC、AB為x、y軸建立直角坐標系，設等腰直角△ABC的腰長為2，
則O點坐標為（1，1），B（0，2）、C（2，0），
∵

AB

=m

AM，

AC

=n

AN

，
∴

AM

=

AB

m

，

AN

=

AC

n

，
∴M(0，

2

m

)、N(

2

n

，0)，
∴直線MN的方程為

nx

2

+

my

2

=1，
∵直線MN過點O（1，1），
∴

m

2

+

n

2

=1，即m+n=2
∵m+n≥2

mn

（m＞0，n＞0），
∴mn≤

(m+n)2

4

=1，
∴當且僅當m=n=1時取等號，且mn的最大值為1．
故選B．