Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，△ABD是邊長為2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC= ．

（1）求證：PA⊥BD；
（2）若PC=BC，求二面角A﹣BP﹣D的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，交BD于O，

由PC⊥平面ABCD，可得PC⊥AB，

又AB⊥BP，BP∩PC=P，

可得AB⊥平面PBC，即有AB⊥BC，

由BC= ，AB=2，可得tan∠BAC= = ，

即∠BAC=30°，又∠ABD=60°，

則∠AOB=90°，

即AC⊥BD，又PC⊥BD，

則BD⊥平面PAC，即有PA⊥BD

（2）解：由O為BD的中點，過O作OF∥PC，交AP于F，

可得F為AP的中點，且OF⊥平面ABCD，

以O為坐標原點，OA，OB，OF為x，y，z軸，建立直角坐標系O﹣xyz，

則A（ ，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），C（﹣ ，0，0），P（﹣ ，0， ），

則 =（0，2，0）， =（ ，1，﹣ ），

設平面PBD的一個法向量為 =（x，y，z），

由 ，取z=1，x=2，

可得為 =（2，0，1），

取PB的中點E，連接CE，由PC=BC，可得CE⊥AP，

又AB⊥平面PBC，可得AB⊥CE，即有CE⊥平面ABP，

由E（﹣ ， ， ），即有 =（ ， ， ）為平面ABP的一個法向量．

即有cos＜ ， ＞= = = ，

可得sin＜ ， ＞= = ．

即有二面角A﹣BP﹣D的正弦值為 ．

【解析】（1）連接AC，交BD于O，運用線面垂直的判定和性質，可得AB⊥BC，求得∠BAC=30°，可得AC⊥BD，再由線面垂直的判定和性質，即可得證；（2）過O作OF∥PC，交AP于F，以O為坐標原點，OA，OB，OF為x，y，z軸，建立直角坐標系O﹣xyz，分別求得A，B，C，D，P的坐標，可得向量 ， 的坐標，設出平面PBD的一個法向量為 =（x，y，z），由向量垂直的條件：數量積為0，可得 =（2，0，1），再取PB的中點E，連接CE，可得向量CE為平面ABP的法向量，求得坐標，再求兩法向量的夾角的余弦值，即可得到所求二面角的正弦值．
【考點精析】通過靈活運用空間中直線與直線之間的位置關系，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點即可以解答此題．