Question

已知函數，在x=1處取得極值為2．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（m，2m+1）上為增函數，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）若P（x₀，y₀）為圖象上的任意一點，直線l與的圖象相切于點P，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）已知函數，
∴
又函數f（x）在x=1處取得極值2，
∴
即
∴…（4分）
（Ⅱ）∵由f'（x）＞0，得4-4x²＞0，
即-1＜x＜1所以的單調增區間為（-1，1）
因函數f（x）在（m，2m+1）上單調遞增，則有，
解得-1＜m≤0即m∈（-1，0]時，函數f（x）在（m，2m+1）上為增函數…（8分）
（Ⅲ）∵
直線l的斜率，即k=，令，
則k=4（2t²-t），t∈（0，1]
∴，
即直線l的斜率k的取值范圍是…（14分）．
分析：（I）由題意對函數求導，然后利用極值的概念列出關于a，b的方程，求解即可；
（II）由題意應該先求具體函數的單調增區間，然后利用已知的條件及集合的思想，建立的m取值范圍的不等式組求解即可；
（III）找出直線l的斜率k=f′（x₀），再利用換元法求出k的最小值和最大值，即可得到直線l的斜率的取值范圍．
點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，利用導數研究函數單調性的能力，以及計算能力，解答的關鍵是導數工具的靈活運用．