Question

已知函數，在x=1處取得極值為2．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（m，2m+1）上為增函數，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線l與圖象相切于點P（x，y），求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先由已知函數求其導數，再根據函數f（x）在x=1處取得極值2，列出關于a，b的方程即可求得函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）先由f′（x）＞0，得f（x）的單調增區間為（-1，1）．再根據函數f（x）在（m，2m+1）上單調遞增，列出關于m的不等關系解之即得；
（Ⅲ）根據導數和幾何意義直線l的斜率的表達式，再利用二次函數的最值的求法即可求得直線l的斜率k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）已知函數，∴．（2分）
又函數f（x）在x=1處取得極值2，
∴即∴．（4分）
（Ⅱ）∵．
由f′（x）＞0，得4-4x²＞0，即-1＜x＜1，
所以的單調增區間為（-1，1）．（6分）
因函數f（x）在（m，2m+1）上單調遞增，則有解得-1＜m≤0，
即m∈（-1，0]時，函數f（x）在（m，2m+1）上為增函數．（9分）
（Ⅲ）∵，
∴直線l的斜率為（11分）
令，則直線l的斜率k=4（2t²-t）（t∈（0，1）
∴，即直線l的斜率k的取值范圍是（14分）
[或者由k=f（x）轉化為關于x²的方程，根據該方程有非負根求解]．
點評：本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、函數解析式的求解及常用方法、直線的斜率等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．