Question

已知圓C₁的圓心在坐標原點O，且恰好與直線l₁：相切．
（1）求圓的標準方程；
（2）設點A為圓上一動點，AN⊥x軸于N，若動點Q滿足：，（其中m為非零常數），試求動點Q的軌跡方程C₂；
（3）在（2）的結論下，當時，得到曲線C，與l₁垂直的直線l與曲線C交于B、D兩點，求△OBD面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設圓的半徑為r，圓心到直線l₁距離為d，則．由此能求出圓的方程．
（2）設動點Q（x，y），A（x，y），AN⊥x軸于N，N（x，0）由題意，（x，y）=m（x，y）+（1-m）（x，0），所以，由此能求出動點Q的軌跡方程．
（3）時，曲線C方程為，設直線l的方程為y=-x+b．設直線l與橢圓交點B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），聯立方程，得7x²-8bx+4b²-12=0．由此能求出△OBD面積的最大值．
解答：解：（1）設圓的半徑為r，圓心到直線l₁距離為d，則，2分
圓C₁的方程為x²+y²=4，2分
（2）設動點Q（x，y），A（x，y），AN⊥x軸于N，N（x，0）
由題意，（x，y）=m（x，y）+（1-m）（x，0），所以，2分
即：，將代入x²+y²=4，得，3分
（3）時，曲線C方程為，設直線l的方程為y=-x+b
設直線l與橢圓交點B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
聯立方程得7x²-8bx+4b²-12=0，1分
因為△=48（7-b²）＞0，解得b²＜7，且，2分
∵點O到直線l的距離，．
∴=，2分
（當且僅當b²=7-b²即時取到最大值），1分
∴△OBD面積的最大值為．1分．
點評：本題考查圓的方程和橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，具體涉及到圓的簡單性質、橢圓的性質和應用、直線和圓錐曲線的位置關系的應用．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．