Question

（2012•吉林二模）已知圓C₁的圓心在坐標原點O，且恰好與直線l₁：x-y-2

2

=0相切．
（1）求圓的標準方程；
（2）設點A為圓上一動點，AN⊥x軸于N，若動點Q滿足：

OQ

=m

OA

+(1-m)

ON

，（其中m為非零常數），試求動點Q的軌跡方程C₂；
（3）在（2）的結論下，當m=

3

2

時，得到曲線C，與l₁垂直的直線l與曲線C交于B、D兩點，求△OBD面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設圓的半徑為r，圓心到直線l₁距離為d，則d=

|-2 2 |

12+12

=2．由此能求出圓的方程．
（2）設動點Q（x，y），A（x₀，y₀），AN⊥x軸于N，N（x₀，0）由題意，（x，y）=m（x₀，y₀）+（1-m）（x₀，0），所以

x=x0 y=my0

，由此能求出動點Q的軌跡方程．
（3）m=

3

2

時，曲線C方程為

x2

4

+

y2

3

=1，設直線l的方程為y=-x+b．設直線l與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1交點B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），聯立方程

y=-x+b 3x2+4y2=12

，得7x²-8bx+4b²-12=0．由此能求出△OBD面積的最大值．

解答：解：（1）設圓的半徑為r，圓心到直線l₁距離為d，則d=

|-2 2 |

12+12

=2，2分
圓C₁的方程為x²+y²=4，2分
（2）設動點Q（x，y），A（x₀，y₀），AN⊥x軸于N，N（x₀，0）
由題意，（x，y）=m（x₀，y₀）+（1-m）（x₀，0），所以

x=x0 y=my0

，2分
即：

x0=x y0= 1 m y

，將A(x，

1

m

y)代入x²+y²=4，得

x2

4

+

y2

4m2

=1，3分
（3）m=

3

2

時，曲線C方程為

x2

4

+

y2

3

=1，設直線l的方程為y=-x+b
設直線l與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1交點B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
聯立方程

y=-x+b 3x2+4y2=12

得7x²-8bx+4b²-12=0，1分
因為△=48（7-b²）＞0，解得b²＜7，且x1+x2=

8b

7

，x1x2=

4b2-12

7

，2分
∵點O到直線l的距離d=

|b|

2

，BD=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 6

7

7-b2

．
∴S△OBD=

1

2

•

|b|

2

•

4 6

7

7-b2

=

2 3

7

b2(7-b2)

≤

3

，2分
（當且僅當b²=7-b²即b2=

7

2

＜7時取到最大值），1分
∴△OBD面積的最大值為

3

．1分．

點評：本題考查圓的方程和橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，具體涉及到圓的簡單性質、橢圓的性質和應用、直線和圓錐曲線的位置關系的應用．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．