Question

已知函數f(x)=2sin²x+sin2x,x∈R.

(1)求函數f(x)的最大值、最小值及單調增區間;

(2)函數f(x)的圖象是由函數y=sinx,x∈R的圖象經過怎樣的變換而得到的?

分析:解此類問題的關鍵是把函數f(x)轉化成一個角的一個三角函數的形式.

Answer 1

解:(1)f(x)=1-cos2x+sin2x=1+sin(2x-).

∵-1≤sin(2x-)≤1,

∴1-≤f(x)≤1+.

∴函數f(x)的最大值是1+,最小值是1-.

由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),

解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).

∴函數的單調遞增區間為［kπ-,kπ+］,k∈Z.

(2)將函數y=sinx的圖象依次進行如下變換:

①把函數y=sinx的圖象向右平移,得到函數y=sin(x-)的圖象;

②把得到的圖象上各點橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變),得到函數y=sin(2x-)的圖象;

③把得到的圖象上各點縱坐標伸長到原來的倍(橫坐標不變),得到函數y=sin(2x-)的圖象;

④把得到的圖象向上平移1個單位長度,得到函數y=1+sin(2x-)的圖象.

綜上得到函數f(x)=2sin²x+sin2x的圖象.