Question

【題目】已知圓具有以下性質：設A，B是圓C：上關于原點對稱的兩點，點P是圓上的任意一點．若直線PA，PB的斜率都存在并分別記為，，則＝﹣1，是與點P的位置無關的定值．

（1）試類比圓的上述性質，寫出橢圓的一個類似性質，并加以證明；

（2）如圖，若橢圓M的標準方程為，點P在橢圓M上且位于第一象限，點A，B分別為橢圓長軸的兩個端點，過點A，B分別作⊥PA，⊥PB，直線，交于點C，直線與橢圓M的另一交點為Q，且，求的取值范圍（可直接使用（1）中證明的結論）．

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）設點，則點，由，由橢圓方程帶入化簡可得解；

（2）設AP的斜率為k，，結合（1）中的結論可得直線AC、BC和BQ的方程，聯立直線方程可得和，由，結合可得解.

（1）性質：設A，B是橢圓上關于原點對稱的兩點，點是橢圓上的任意一點．若直線，的斜率都存在并分別記為，，則是與點的位置無關的定值．

證明：設點，則點，從而．設點則，

則，

故是與點P的位置無關的定值．

（2）設AP的斜率為k，，因為P為橢圓M上第一象限內一點，所以由（1）結論可知，所以BP的斜率為．

因為，所以，則AC的方程為

因為，所以，則BC的方程為.

由，得，即

設，因為，

且直線的斜率，所以的斜率為，則的方程為

聯立方程，得，即

則

因為，所以.