Question

（2008•廣州二模）（1）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與x軸交于A、B兩點，點P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，求證：

AN

•

BM

為定值b²-a²．
（2）由（1）類比可得如下真命題：雙曲線C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與x軸交于A、B兩點，點P是雙曲線C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，則

AN

•

BM

為定值．請寫出這個定值（不要求給出解題過程）．

Answer 1

分析：（1）設點P（x₀，y₀），x₀≠±a，依題意，得A（-a，0），B（a，0），從而得直線PA的方程，繼而求得點M，N的縱坐標，得到y_My_N=

a2y02

a2-x02

，把點P（x₀，y₀），代入橢圓方程可求得y_My_N=

a2y02

a2-x02

=b²，從而得

AN

•

BM

=b²-a²．
（2）類比（1）的結論，可得

AN

•

BM

的值．

解答：（1）證明：設點P（x₀，y₀），x₀≠±a，
依題意，得A（-a，0），B（a，0），
∴直線PA的方程為y=

y0

x0+a

（x+a）…（2分）
令x=0，得y_M=

ay0

x0+a

…（4分）
同理得y_N=

-ay0

x0-a

…（6分）
∴y_My_N=

a2y02

a2-x02

，
∵點P（x₀，y₀）是橢圓C上一點，
∴

x02

a2

+

y02

b2

=1，y02=

b2

a2

（a²-x02），
∴y_My_N=

a2y02

a2-x02

=b²，…（8分）

AN

=（a，y_N），

BM

=（-a，y_M），
∴

AN

•

BM

=-a²+y_My_N=b²-a²…（10分）
（2）-（a²+b²）…（14分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線、合情推理等基礎知識，考查數形結合的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創新意識，屬于難題．