Question

(本題滿分14分)

某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A、B及CD的中點P處，已知AB=20km，BC=10km，為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD的區域上（含邊界），且A、B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO、BO、OP，設排污管道的總長為ykm。

（1）按下列要求寫出函數關系式：

①設∠BAO=θ(rad)，將y表示成θ的函數關系式；

②設OP=x(km)，將y表示成x的函數關系式；

（2）請你選用（1）中的一個函數關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短

Answer 1

【解析】本小題主要考查函數最值的應用．

（Ⅰ）①由條件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，則, 故

，又OP＝，

所以，

所求函數關系式為

②若OP=(km) ，則OQ＝10－，所以OA =OB=

所求函數關系式為

（Ⅱ）選擇函數模型①，

令0 得sin ，因為，所以=，

當時， ，是的減函數；當時， ，是的增函數，所以當=時，。這時點P 位于線段AB 的中垂線上，在矩形區域內且距離AB 邊km處。