Question

以下四個關于圓錐曲線的命題中：
①設A、B為兩個定點，k為非零常數，|

PA

|-|

PB

|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②以過拋物線的焦點的一條弦AB為直徑作圓，則該圓與拋物線的準線相切；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點．
其中真命題的序號為

 

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：對于①利用雙曲線的定義判斷正誤即可；對應②通過拋物線的性質即可說明正誤；對應③求出方程的兩個根即可判斷正誤；對應④求出兩條曲線的焦點坐標，即可判斷正誤．

解答：解：①不正確；若動點P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離．當|k|大于A、B為兩個定點間的距離時動點P的軌跡不是雙曲線．
②正確；不妨設拋物線為標準拋物線：y²=2px （p＞0 ），即拋物線位于Y軸的右側，以X軸為對稱軸．
設過焦點的弦為PQ，PQ的中點是M，M到準線的距離是d．
而P到準線的距離d₁=|PF|，Q到準線的距離d₂=|QF|．
又M到準線的距離d是梯形的中位線，故有d=

|PF|+|QF|

2

，
由拋物線的定義可得：

|PF|+|QF|

2

=

|PQ|

2

=半徑．
所以圓心M到準線的距離等于半徑，
所以圓與準線是相切．
③正確；方程2x²-5x+2=0的兩根分別為

1

2

和2，

1

2

和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率．
④正確；雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點，焦點在x軸上，焦點坐標為（±

34

，0）；
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征，考查橢圓和雙曲線的基本性質，解題時要準確理解概念，基本知識的理解與應用．常見的結論需要牢記，解題時才能快速準確．