Question

以下四個關于圓錐曲線的命題中：
①設A、B為兩個定點，k為非零常數，|

PA

|-|

PB

|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②過定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，則動點P的軌跡為橢圓；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線

x2

35

-y2=1和橢圓

x2

25

+

y2

9

=1有相同的焦點．
其中真命題的序號為

③

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：根據雙曲線的定義是到兩定點的距離之差的絕對值為常數（小于兩定點之間距離）的點的軌跡．焦點在x軸的橢圓、雙曲線的標準方程分別是

x2

a2

+

y2

b2

=1，

x2

a2

-

y2

b2

=1，半焦距C，分別是c²=a²+b²，c²=a²-b²，離心率e 范圍分別是0＜e＜1，e＞1．

解答：解：根據雙曲線的定義，有絕對值，且k的范圍是k＜|AB|，∴①×；
∵

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），∴P為弦AB的中點，不妨在單位圓x²+y²=1中，定點A（1，0），動點B（x₁，y₁），設P（x，y），用代入法求得P的軌跡方程是(x-

1

2

)2+y²=

1

4

，
∴點P的軌跡為圓，∴②×；
∵2x²-5x+2=0的兩根是2，

1

2

，橢圓的離心率范圍是（0，1），雙曲線的離心率范圍是（1，∞）∴③√．
∵④中雙曲線的焦點是（±6，0），橢圓的焦點（±4，0），∴④×．
故答案是③

點評：準確掌握圓錐曲線定義中的條件，性質．